Əliheydər Əbdüləli oğlu Ələkbərov 1915-ci il iyulun 26-da Bakı şəhərində anadan olub.
Yeddiillik məktəbi bitirdikdən sonra 1931-1934-cü illərdə ilk sənət təhsilini Bakı Teatr Məktəbində alıb. 1964-cü ildə Azərbaycan Dövlət Teatr İnstitutunu bitirib. Teatr məktəbinə daxil olduğu ildən Akademik Milli Dram Teatrında kütləvi səhnələrə çıxıb, həmçinin rejissor köməkçisi, rejissor-laborant və rejissor assistenti kimi çalışıb, 1960-1967-ci illərdə Azərbaycan Dövlət Musiqili Komediya Teatrında baş rejissor, 1967-ci ildən ömrünün sonunadək Milli Teatrda direktor vəzifəsində çalışıb. 1967-ci ildə Filarmoniyada fəaliyyət göstərən “Gəlməli, görməli, gülməli” miniatür satirik teatrının rejissoru olub.
Bu baxımdan onun teatrda hazırladığı “Bir dəqiqə”, “Ulduz”, “Haradasan, ay subaylıq?”, “Özümüz bilərik”, “Olmadı elə, oldu belə” və “Milyonçunun dilənçi oğlu”, “Hacı Qara”, “Keçmişin məişət səhnələri” musiqili komediyaları repertuarda daha uzunömürlü olublar.
Əliheydər Ələkbərov “Milyonçunun dilənçi oğlu” musiqili komediyasına görə 1967-ci ildə Üzeyir bəy Hacıbəyov adına Dövlət mükafatına layiq görülüb.
1949-cu ildə “Əməkdar artist” fəxri adına layiq görülüb. 1972-ci ildə Respublika Dövlət mükafatı laureatı olub. Həmçinin, SSRİ-nin “Qırmızı Əmək Bayrağı” ordeni və müxtəlif medalları ilə təltif olunub.
Əliheydər Ələkbərov 1975-ci il mart ayının 14-də Bakı şəhərində vəfat edib.
